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<!DOCTYPE html>

<title>Langlands-Programm</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Langlands-Programm</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Das <b>Langlands-Programm</b> der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> besteht in einer Reihe von weitreichenden <a href="Vermutung_(Mathematik)" title="Vermutung (Mathematik)">Vermutungen</a>, die die <a href="Zahlentheorie" title="Zahlentheorie">Zahlentheorie</a> und die <a href="Darstellung_(Gruppe)" title="Darstellung (Gruppe)">Darstellungstheorie</a> von <a href="Gruppe_(Mathematik)" title="Gruppe (Mathematik)">Gruppen</a> miteinander verknüpfen. Sie wurden von <a href="Robert_Langlands" title="Robert Langlands">Robert Langlands</a> seit 1967 aufgestellt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verbindung_zur_Zahlentheorie">Verbindung zur Zahlentheorie</h2></div>

<p>Als Ausgangspunkt des Programms kann man das <a href="Artinsches_Reziprozit%C3%A4tsgesetz" title="Artinsches Reziprozitätsgesetz">Reziprozitätsgesetz</a> von <a href="Emil_Artin" title="Emil Artin">Emil Artin</a> ansehen, das das <a href="Quadratisches_Reziprozit%C3%A4tsgesetz" title="Quadratisches Reziprozitätsgesetz">quadratische Reziprozitätsgesetz</a> verallgemeinert. Artins Reziprozitätsgesetz ordnet einem <a href="Algebraische_Zahlentheorie" title="Algebraische Zahlentheorie">algebraischen Zahlkörper</a>, dessen <a href="Galoisgruppe" title="Galoisgruppe">Galoisgruppe</a> über <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }" loading="lazy"></span> <a href="Abelsche_Gruppe" title="Abelsche Gruppe">kommutativ</a> (abelsch) ist, eine <a href="L-Funktion" title="L-Funktion">L-Funktion</a> der eindimensionalen Darstellungen der Galoisgruppe zu und besagt, dass diese L-Funktion mit einer gewissen <a href="L-Reihe" class="mw-redirect" title="L-Reihe">Dirichletschen L-Reihe</a> übereinstimmt.

</p><p>Für nichtabelsche Galoisgruppen und höherdimensionale Darstellungen kann man ebenfalls L-Funktionen in natürlicher Weise definieren.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Automorphe_Darstellungen">Automorphe Darstellungen</h2></div>

<p>Die Idee von Langlands war es, eine geeignete Verallgemeinerung der Dirichletschen L-Funktionen zu finden, die es erlaubt, die Aussage von Artin in diesem allgemeineren Rahmen zu formulieren.

</p><p><a href="Erich_Hecke" title="Erich Hecke">Hecke</a> hatte schon früher Dirichletsche L-Funktionen mit <a href="Automorphe_Form" class="mw-redirect" title="Automorphe Form">automorphen Formen</a>, also mit <a href="Holomorphe_Funktion" title="Holomorphe Funktion">holomorphen Funktionen</a> der <a href="Halbebene#Obere_Halbebene" title="Halbebene">oberen Halbebene</a> der <a href="Komplexe_Zahlen" class="mw-redirect" title="Komplexe Zahlen">komplexen Zahlen</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy"></span>, die gewisse <a href="Funktionalgleichung" title="Funktionalgleichung">Funktionalgleichungen</a> erfüllen, in Verbindung gebracht (siehe <a href="Hecke-Operator" title="Hecke-Operator">Hecke-Operator</a>). Langlands verallgemeinerte dies auf <i>automorphe kuspidale Darstellungen.</i> Dabei handelt es sich um unendlichdimensionale irreduzible Darstellungen der <a href="Allgemeine_lineare_Gruppe" title="Allgemeine lineare Gruppe">allgemeinen linearen Gruppe</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3b1b008d4ce8c41db8241a16ee90c7166217fbe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.496ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}" loading="lazy"></span> über dem <a href="Ring_(Algebra)" title="Ring (Algebra)">Ring</a> der <a href="Adelering" title="Adelering">Adele</a> von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }" loading="lazy"></span>, wobei dieser Ring alle <a href="Vervollst%C3%A4ndigung_(metrischer_Raum)" class="mw-redirect" title="Vervollständigung (metrischer Raum)">Vervollständigungen</a> von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</p><p>Langlands wies diesen automorphen Darstellungen gewisse L-Funktionen zu und vermutete, dass jede L-Funktion einer endlichdimensionalen Darstellung der Galoisgruppe mit der L-Funktion einer automorphen kuspidalen Darstellung übereinstimmt. Dies ist die sogenannte „Reziprozitätsvermutung“.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ein_allgemeines_Funktorialitätsprinzip"><span id="Ein_allgemeines_Funktorialit.C3.A4tsprinzip"></span>Ein allgemeines Funktorialitätsprinzip</h2></div>

<p>Langlands verallgemeinerte dies noch weiter: Anstelle der allgemeinen linearen Gruppe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3b1b008d4ce8c41db8241a16ee90c7166217fbe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.496ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}" loading="lazy"></span> kann man andere <a href="Reduktive_Gruppe" title="Reduktive Gruppe">reduktive Gruppen</a> betrachten. Zu einer solchen Gruppe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"></span> konstruierte Langlands eine komplexe <a href="Lie-Gruppe" title="Lie-Gruppe">Lie-Gruppe</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {}^{\mathrm {L} }G}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {}^{\mathrm {L} }G}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e3fc2a00751b820f3977b9012e1311266346bfd7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.086ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {}^{\mathrm {L} }G}" loading="lazy"></span>, und für jede automorphe kuspidale Darstellung von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"></span> und jede endlichdimensionale Darstellung von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {}^{\mathrm {L} }G}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {}^{\mathrm {L} }G}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e3fc2a00751b820f3977b9012e1311266346bfd7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.086ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {}^{\mathrm {L} }G}" loading="lazy"></span> definierte er eine L-Funktion. Eine seiner Vermutungen besagt dann, dass diese L-Funktionen gewisse Funktionalgleichungen erfüllen, die solche von bekannten L-Funktionen verallgemeinern.

</p><p>In diesem Rahmen formulierte Langlands ein allgemeines „Funktorialitätsprinzip“: Wenn zwei reduktive Gruppen und ein Morphismus zwischen ihren L-Gruppen gegeben sind, so sind diesem vermuteten Prinzip nach ihre automorphen Darstellungen miteinander in einer Weise verbunden, die mit ihren L-Funktionen verträglich ist. Diese Funktorialität impliziert alle anderen Vermutungen. Es ist vom Typ her die Konstruktion einer induzierten Darstellung, was in der traditionellen Theorie der automorphen Formen eine „Liftung“ genannt wurde. Versuche, eine solche Konstruktion direkt anzugeben, haben nur zu eingeschränkten Resultaten geführt.

</p><p>All diese Vermutungen können auch für andere <a href="K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a> formuliert werden. Anstelle von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }" loading="lazy"></span> kann man <a href="Algebraischer_Zahlk%C3%B6rper" title="Algebraischer Zahlkörper">algebraische Zahlkörper</a>, <a href="Lokaler_K%C3%B6rper" title="Lokaler Körper">lokale Körper</a> und <a href="Funktionenk%C3%B6rper" title="Funktionenkörper">Funktionenkörper</a>, d. h. endliche <a href="K%C3%B6rpererweiterung" title="Körpererweiterung">Körpererweiterungen</a> von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f3a930f24de2da2bcbf96e31523800cf4e0b6e0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.128ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)}" loading="lazy"></span>, betrachten, wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span> eine <a href="Primzahl" title="Primzahl">Primzahl</a> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f3a930f24de2da2bcbf96e31523800cf4e0b6e0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.128ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)}" loading="lazy"></span> den Körper der rationalen Funktionen über dem <a href="Endlicher_K%C3%B6rper" title="Endlicher Körper">endlichen Körper</a> mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ideen,_die_zum_Langlands-Programm_führten"><span id="Ideen.2C_die_zum_Langlands-Programm_f.C3.BChrten"></span>Ideen, die zum Langlands-Programm führten</h2></div>

<p>In das Programm gingen folgende Ideen ein: die <i>Philosophie der Spitzenformen,</i> die einige Jahre zuvor von <a href="Israel_Gelfand" class="mw-redirect" title="Israel Gelfand">Israel Gelfand</a> formuliert worden war, der Zugang von <a href="Harish-Chandra" title="Harish-Chandra">Harish-Chandra</a> zu halbeinfachen <a href="Liegruppe" class="mw-redirect" title="Liegruppe">Liegruppen</a> und im technischen Sinn die <a href="Selbergsche_Spurformel" title="Selbergsche Spurformel">Spurformel</a> von <a href="Atle_Selberg" title="Atle Selberg">Selberg</a> und anderen. Das Neue in Langlands Arbeit war, neben der technischen Tiefe, die vermutete direkte Verbindung zur Zahlentheorie und die funktorielle Struktur des Ganzen.

</p><p>In den Arbeiten von Harish-Chandra findet man beispielsweise das Prinzip, dass man das, was man mit einer halbeinfachen (oder reduktiven) Liegruppe tun kann, für alle machen sollte. Wenn somit die Rolle von niederdimensionalen Liegruppen wie der <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {GL} (2)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {GL} (2)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb41ff887a99e2f1c7a0df34c2f383bc4f3a18fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.249ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {GL} (2)}" loading="lazy"></span> in der Theorie der <a href="Modulform" class="mw-redirect" title="Modulform">Modulformen</a> erkannt worden war, so war der Weg offen für Spekulationen über <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {GL} (n)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {GL} (n)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba99fb253ee3b9082e5d718da746260073e6c7b3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.481ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {GL} (n)}" loading="lazy"></span> für beliebiges <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n>2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n>2}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/44e71ac55b9fbf1e9f341b946cda63d61d3ef2cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n>2}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Die Idee der <i>Spitzenform</i> rührte von den Spitzen bei <a href="Modulkurve" class="mw-redirect" title="Modulkurve">Modulkurven</a> her, sie war aber auch sichtbar in der <a href="Spektraltheorie" class="mw-redirect" title="Spektraltheorie">Spektraltheorie</a> als <a href="Diskretes_Spektrum" class="mw-redirect" title="Diskretes Spektrum">diskretes Spektrum</a>, im Gegensatz zu dem <a href="Kontinuierliches_Spektrum" class="mw-redirect" title="Kontinuierliches Spektrum">kontinuierlichen Spektrum</a> von <a href="Eisensteinreihe" title="Eisensteinreihe">Eisensteinreihen</a>. Dieser Zusammenhang wird für größere Liegruppen technisch weit komplizierter, da die <a href="Parabolische_Untergruppe" title="Parabolische Untergruppe">parabolischen Untergruppen</a> zahlreicher sind.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ergebnisse_und_Preise">Ergebnisse und Preise</h2></div>

<p>Teile des Programms für lokale Körper wurden 1998 beendet und das für Funktionenkörper 1999. <a href="Laurent_Lafforgue" title="Laurent Lafforgue">Laurent Lafforgue</a> erhielt 2002 die <a href="Fields-Medaille" title="Fields-Medaille">Fields-Medaille</a> für seine Arbeiten im Fall von Funktionenkörpern. Diese setzten frühere Untersuchungen von <a href="Vladimir_Drinfeld" title="Vladimir Drinfeld">Vladimir Drinfeld</a> fort, der 1990 ebenfalls mit der Fields-Medaille ausgezeichnet wurde. Für Zahlkörper ist das Programm nur in wenigen speziellen Fällen bewiesen, zum Teil von Langlands selbst. Für lokale Funktionenkörper wurde die Langlandsvermutung von <a href="G%C3%A9rard_Laumon" title="Gérard Laumon">Gérard Laumon</a>, <a href="Michael_Rapoport" title="Michael Rapoport">Michael Rapoport</a>, <a href="Ulrich_Stuhler" title="Ulrich Stuhler">Ulrich Stuhler</a> bewiesen.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Die lokale Langlandsvermutung (für lokale <i>p</i>-adische Körper) wurde 1998 von <a href="Michael_Harris_(Mathematiker)" title="Michael Harris (Mathematiker)">Michael Harris</a> und <a href="Richard_Taylor_(Mathematiker)" title="Richard Taylor (Mathematiker)">Richard Taylor</a> sowie unabhängig davon von <a href="Guy_Henniart" title="Guy Henniart">Guy Henniart</a> bewiesen.

</p><p>Langlands erhielt <a href="1996" title="1996">1996</a> den <a href="Wolf-Preis" title="Wolf-Preis">Wolf-Preis</a> für Mathematik für seine Arbeit zu diesen Vermutungen und im Jahre 2018 den <a href="Abel-Preis" class="mw-redirect" title="Abel-Preis">Abel-Preis</a>. Für den Beweis des <a href="Fundamentallemma" class="mw-disambig" title="Fundamentallemma">Fundamentallemmas</a> erhielt <a href="Ng%C3%B4_B%E1%BA%A3o_Ch%C3%A2u" title="Ngô Bảo Châu">Ngô Bảo Châu</a> 2010 die Fields-Medaille.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geometrisches_Langlands-Programm">Geometrisches Langlands-Programm</h2></div>

<p>Wegen der großen Schwierigkeiten der Realisierung des Langlands-Programms in der Zahlentheorie sind einige Mathematiker (<a href="Alexander_Beilinson" title="Alexander Beilinson">Alexander Beilinson</a>, <a href="Vladimir_Drinfeld" title="Vladimir Drinfeld">Vladimir Drinfeld</a>, <a href="G%C3%A9rard_Laumon" title="Gérard Laumon">Gérard Laumon</a> ab den 1980er Jahren, <a href="Edward_Frenkel" title="Edward Frenkel">Edward Frenkel</a>, <a href="Dennis_Gaitsgory" title="Dennis Gaitsgory">Dennis Gaitsgory</a>, <a href="Kari_Vilonen" title="Kari Vilonen">Kari Vilonen</a>) dazu übergegangen, bei der Langlands-Korrespondenz statt Zahlkörpern Funktionenkörper (Kurven über den komplexen Zahlen oder endlichen Körpern) zu betrachten. Das folgt einer alten Tradition, statt den schwierigeren Fall von Zahlkörpern zunächst den einfacheren von Funktionenkörpern zu studieren. Das Gebiet hat Verbindungen zu Stringtheorie und konformen Quantenfeldtheorien seit der Arbeit von <a href="Anton_Kapustin" title="Anton Kapustin">Anton Kapustin</a> und <a href="Edward_Witten" title="Edward Witten">Edward Witten</a>, die <a href="S-Dualit%C3%A4t_(Stringtheorie)" title="S-Dualität (Stringtheorie)">S-Dualität</a> mit der geometrischen Langlands-Korrespondenz in Verbindung brachten.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Es gibt auch Verbindungen zur <a href="Topologische_Quantenfeldtheorie" title="Topologische Quantenfeldtheorie">topologischen Quantenfeldtheorie</a>. Im Mai 2024 wurde von einer Gruppe von Autoren unter Federführung von D. Gaitsgory und S. Raskin eine Serie von Preprints veröffentlicht, die die geometrische Langlands-Vermutung beweisen soll.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Stephen_Gelbart" title="Stephen Gelbart">Stephen Gelbart</a>: <i>An Elementary Introduction to the Langlands Program.</i> In: <i>Bulletin of the AMS.</i> Band 10, 1984, S. 177–219, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ams.org/bull/1984-10-02/S0273-0979-1984-15237-6/home.html">ams.org</a></li>

<li><a href="Anthony_W._Knapp" title="Anthony W. Knapp">Anthony W. Knapp</a>: <i>Introduction to the Langlands program.</i> In: T. N. Bailey, A. W. Knapp (Hrsg.): <i>Representation theory and automorphic forms.</i> In: <i>Amer. Math. Soc.</i> 1997, S. 245–302.</li>

<li>Anthony W. Knapp: <i>Group Representations and Harmonic Analysis from Euler to Langlands.</i> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ams.org/notices/199604/knapp.pdf">Teil 1</a> (PDF; 183 kB), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ams.org/notices/199605/knapp-2.pdf">Teil 2</a> (PDF; 177 kB). In: <i>Notices AMS.</i> 1996.</li>

<li><a href="Solomon_Friedberg" title="Solomon Friedberg">Solomon Friedberg</a>: <i>What is the Langlands Program?</i> In: <i>Notices AMS</i>, Juni/Juli 2018, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ams.org/cgi-bin/notices/nxg-issue?year=2018&issue=06">ams.org</a></li></ul>

<p>Geometrisches Langlands-Programm:

</p>

<ul><li><a href="Edward_Frenkel" title="Edward Frenkel">Edward Frenkel</a>: <i>Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory.</i> <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/hep-th/0512172">hep-th/0512172</a>.</li>

<li>Edward Frenkel: <i>Langlands program, Trace formulae, and their geometrization.</i> In: <i>Bull. Amer. Math. Soc.</i> Band 50, 2013, S. 1–55, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ams.org/journals/bull/2013-50-01/S0273-0979-2012-01387-3/home.html">ams.org</a></li>

<li>Edward Frenkel: <i>Gauge theory and the Langlands duality.</i> Bourbaki Seminar 2009, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/0906.2747">0906.2747</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://ncatlab.org/nlab/show/geometric+Langlands+correspondence">Geometric Langlands Correspondence.</a> ncat Lab</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://publications.ias.edu/rpl/">Website mit den Schriften von Robert Langlands</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">G. Laumon, M. Rapoport, U. Stuhler: <i><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {D}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {D}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3277962e1959c3241fb1b70c7f0ac6dcefebd966.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.792ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {D}}}" loading="lazy"></span>-elliptic sheaves and the Langlands correspondence.</i> In: <i>Invent. Math.</i> 113 (1993), 217–338.</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">A. Kapustin, E. Witten: <i>Electric-Magnetic Duality And The Geometric Langlands Program.</i> In: <i>Communications in Number Theory and Physics.</i> Band 1, 2007, S. 1–236, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/hep-th/0604151">hep-th/0604151</a>.</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite">D. Arinkin, D. Beraldo, J. Campbell, L. Chen, D. Gaitsgory, J. Faergeman, K. Lin, S. Raskin, N. Rozenblyum: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/"><i>Proof of the geometric Langlands conjecture.</i></a><span class="Abrufdatum"> Abgerufen am 26. Juli 2024</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ALanglands-Programm&rft.title=Proof+of+the+geometric+Langlands+conjecture&rft.description=Proof+of+the+geometric+Langlands+conjecture&rft.identifier=https%3A%2F%2Fpeople.mpim-bonn.mpg.de%2Fgaitsgde%2FGLC%2F&rft.creator=D.+Arinkin%2C+D.+Beraldo%2C+J.+Campbell%2C+L.+Chen%2C+D.+Gaitsgory%2C+J.+Faergeman%2C+K.+Lin%2C+S.+Raskin%2C+N.+Rozenblyum"> </span></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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